Logika Matematika

1.     Diketahui premis – premis

        (1)   Jika hari hujan, maka ibu memakai payung

        (2)   Ibu tidak memakai payung

Penarikan kesimpulan yang sah dari premis – premis tersebut adalah ….

          A.    Hari tidak hujan

          B.    Hari hujan

          C.    Ibu memakai payung

          D.    Hari hujan dan Ibu memakai payung

          E.    Hari tidak hujan dan Ibu memakai payung

Jawab : A

Pembahasan :

p = hari hujan

q = ibu memakai payung

      premis 1 : p →q

premis 2 : ~q               ( modus tolens)

 ___________________

Kesimpulan : ~p

~p = hari tidak hujan

2.      Diberikan premis sebagai berikut :

Premis 1 : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik.

Premis 2 : Jika harga bahan pokok naik maka semua orang tidak senang.

Ingkaran dari kesimpulan di atas adalah:

           A.    Harga BBM tidak naik.

           B.    Jika harga bahan pokok naik, maka ada orang tidak senang.

           C.    Harga bahan pokok naik atau ada orang tidak senang.

           D.    Jika semua orang tidak senang, maka harga BBM naik.

           E.    Harga BBM naik dan ada orang

Jawab : E

Pembahasan :

     p = harga BBM naik

     q = harga bahan pokok naik

     r = semua orang tidak senang

      premis 1 : p→q

      premis 2 : q → r            silogisme

      _________________

  Kesimpulan:  p →r

ingkaran (p → r) = ~(p → r) = p ᴧ ~r

p ∧ ~r = Harga BBM naik dan ada orang senang

3.     Diketahui premis-premis berikut:

Premis  I : Jika hari ini hujan maka saya tidak pergi

Premis II : Jika saya tidak pergi maka saya nonton sepak bola

Kesimpulan yang sah dari penarikan kedua premis tersebut adalah ….

A.    Jika hujan maka saya tidak jadi nonton sepak bola

B.    Jika hari ini hujan maka saya nonton sepak bola

C.    Hari hujan dan saya nonton sepak bola

D.    Saya tidak nonton sepak bola atau hari tidak hujan

E.    Hari tidak hujan, saya tidak pergi tetapi saya nonton sepak bola

Jawaban : B

Pembahasan :

p = hari ini hujan

q = saya tidak pergi

r = saya nonton sepak bola

      premis 1 : p → q

      premis 2 : q → r            silogisme

      _________________

  Kesimpulan:  p → r

4.     Negasi dari pernyataan “Jika ada ujian sekolah maka semua siswa belajar dengan rajin.” adalah ….

A.    Ada ujian sekolah dan semua siswa tidak belajar dengan rajin

B.    Ada ujian sekolah dan beberapa siswa tidak belajar dengan rajin

C.    Ada ujian sekolah dan ada siswa yang belajar dengan rajin

D.    Tidak ada ujian sekolah dan semua siswa belajar dengan rajin

E.    Tidak ada ujian sekolah dan beberapa siswa tidak belajar dengan rajin

Jawab : B

Pembahasan :

p = ada ujian sekolah

q = semua siswa belajar dengan rajin

~(p → q) = p ᴧ ~q

p ᴧ ~q = ada ujian di sekolah dan ada / terdapat / beberapa siswa tidak belajar dengan rajin

Domain, Kodomain, dan Range Fungsi

Dalam matematika, domain atau ranah suatu fungsi adalah suatu himpunan nilai-nilai "masukan" tempat fungsi tersebut terdefinisi (ada).

Fungsi
Fungsi dari A ke B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A ke hanya satu anggota himpunan B
Notasi fungsi f dari A ke B ditulis f : A → B
A disebut domain (daerah asal)
B disebut kodomain (daerah kawan)
Himpunan bagian dari B yang merupakan hasil dari fungsi A ke B disebut range (daerah hasil)
Fungsi juga dapat dinyatakan dengan lambang f : x → y = f(x)
dimana y = f(x) adalah rumus fungsi dengan x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel terikat (tak bebas).
Contoh :

  

Untuk fungsi yang digambarkan dalam diagram panah di atas:
Domain = D_f = {1, 2, 3, 4}
Range = R_f = {2, 4}

 

DOMAIN, KODOMAIN, DAN RANGE

Pengertian Domain, Kodomain, Range

Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawan sedangkan range adalah daerah hasil.

contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan " setengah dari ".

Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :

{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.

Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.

Dari fungsi di atas maka :

Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }

Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }

 

Note:

Domain, Kodomain, dan Range

a. Domain adalah daerah kawan
b. Kodomain adalah daerah kawan
c. Range adalah daerah hasil dari himpunan bagian  dari kodomain.

Soal - Soal tentang Relasi, Komposisi, dan Invers

Contoh Relasi
A = {1,2,3,4} dan B = {1,2,3,4,5,6} jika dikaitkan, maka hubungannya adalah A merupakan setengah dari B.

  

Komposisi Fungsi

Definisi : Suatu Fungsi f dengan daerah asal D_f dan daerah hasil R_f dan fungsi g dengan daerah asal Dg dan daerah hasil Rg untuk “f komposisi g” dilambangkan f o g = {(x,y) | x ε D_g, y ε R_f dan y = f(g(x))} dimana D_g ∩ R_f ≠ Ø .
Contoh :
f(x) = 2x + 5 dan g(x) = x² – 1,  maka
f o g (x) = 2 (x² – 1) + 5 = 2x² – 2 + 5 = 2x² + 3
g o f (x) = (2x+5)² – 1 = 4x² + 20x + 25 – 1 = 4x² + 20x + 24

Kata kunci :

#  f o g (x) artinya untuk setiap variable fungsi f disubtitusikan dengan fungsi g(x)

#  g o f (x) artinya untuk setiap variable fungsi g disubtitusikan dengan fungsi f(x)

Beberapa hal penting :

# (f o g)(x) = h(x) maka f(x) = (h^-1 o g)(x) dan g(x) = (f ^-1 o h)(x)

# (f o g)^-1 = g ^-1 o f ^-1

# (f o g o h) ^-1 = h^-1 o g^-1 o f ^-1

RUMUS MASTER FUNGSI KOMPOSISI







Fungsi Invers
Yang dimaksud dengan invers fungsi komposisi adalah invers dari gabungan beberapa fungsi. Misalkan sobat punya fungsi f yang memetakan A → B dan fungsi g yang memetakan dari B → C.

Jika fungsi h adalah komposisi dari kedua fungsi tersebut (memetakan dari A → C) maka h = g ο f maka yang dimaksud dengan ivers fungsi komposisi dari h adalah fungsi yang memetakan dari C  → A (kebalikan dari A  → C). Dapat ditulis dalam kalimat matematika h-1 : C  → A. Jadi kesimpulannya

Jika h(x) = (g ο f) (x) maka ivers fungsi komposisi nya
h^-1 = (g ο f)^-1 (x)
h^-1 = (f^-1 ο g^-1) (x)

contoh soal:
Diketahui h(x) = (g ο f) (x) dengan f(x) = 2x +1 / x-3 dan g-1 (x) = x-4. Tentukan invers fungsi komposisi dari h [h^-1 (x)]
Jawaban :
Jika f(x) = 2x +1 / x-3 maka invers fungsi tersebut bisa langsung ditentukan menggunakan rumus cepat
jika f(x) = ax + b/ cx + d maka f^-1 = -dx + b/cx – a
jadi invers fungsi f, f^-1 (x) = 3x + 1/ x-2
Sekarang tinggal memasukkan ke rumus
h^-1 = (f^-1 ο g^-1) (x)
h^-1 = f^-1 (g^-1(x)) = f^-1(x-4)
h^-1 = 3 (x-4) + 1/x – 4 -2  = 3x -11/x-6

Himpunan dan Diagram Venn

Himpunan

Definisi

Himpunan adalah Kumpulan objek-objek (benda-benda real atau abstrak) yang didefinisikan dengan jelas.

Contoh :

Kumpulan mahasiswa Jurusan Psikologi Universitas Gunadarma

Kumpulan anak-anak SD Isola

Kumpulan mahasiswa UG yang berumur kurang dari 20 tahun

contoh bukan himpunan

Kumpulan anak-anak yang berambut gondrong

Kumpulan makanan yang lezat-lezat

Kumpulan anak-anak yang pandai

Himpunan Bilangan, terdiri dari;

Himpunan Bilangan Asli: N = {1, 2, 3, … }

Himpunan Bilangan Cacah: C = {0, 1, 2, 3, … }

Himpunan Bilangan Bulat: Z = { … , -1, 0, 1, … }

Himpunan Bilangan Rasional: Q = {p/q : p, q Z, q0}

Himpunan Bilangan Real : R

Diagram Venn

Cara penulisan diagram venn

Contoh soal

S = { bilangan asli },
A = { bilangan ganjil }
B = { bilangan prima > 2 },
Himpunan di atas dapat dinyatakan dalam diagram venn berikut :
B.
C. D.
Pembahasan
S = { 1, 2, 3, 4, 5, . . . }
A = { 1, 3, 5, 7, 11, . . . }
B= { 3, 5, 7, 11, . . . }
Karena semua anggota himpunan B di muat di A , maka B ⊂ A, artinya kurva B ada dalam kurva A.
Jadi jawaban yang benar adalah : C